Zahlen und Zählen

Was haben Zahlen und das Zählen gemeinsam

Das Wort Zahl kommt von zählen und wir zählen: eins, zwei drei, usw., egal, ob wir Enten, Autos oder Gänseblümchen zählen. Mit dem Zählen hat die Menschheit ihren Einstieg in die Mathematik gefunden. Und das ist noch heute so. Auch ein heranwachsendes Kind kommt als erstes über das Zählen, z. B. der 10 Finger oder 10 Zehen,  mit Mathematik in Berührung. Es ist der Begriff der natürlichen Zahlen mit dem es zuerst eine mathematische Bekanntschaft macht, wenn auch unbewusst und scheinbar zufällig. Die ersten natürlichen Zahlen werden den Kindern schnell vertraut. Ihre Eigenschaften erscheinen ihnen bald selbstverständlich und das Zählen, beginnend mit der „1“, geht Ihnen in Fleisch und Blut über. Mit Schuleintritt erweitert sich der Zahlenraum Schuljahr für Schuljahr. Die  einfachen Regeln des Zählens im natürlichen Zahlenraum werden ihnen so geläufig, das sie diese verwenden, ohne an sie zu denken, ähnlich wie sie beim Sprechen die Regeln der Grammatik befolgen, ohne es nötig zu haben, sie sich ins Gedächtnis zu rufen.

Ordnung ist das „halbe Leben“ und in der Mathematik , besonders beim Zählen, das „A und O“

Mathematik und damit auch das Zählen, sind ähnlich wie ein Spiel. Es gibt Regeln und Strukturen, die sich immer wiederholen und die sehr verlässlich sind. Wer die Ordnungsstrukturen der Mathematik kennt, diese zum Zählen und Rechnen nutzt, erleichtert sich das mathematische Arbeiten um ein Vielfaches. Ein Beispiel für solche wiederkehrenden Regelmäßigkeiten  ist der Aufbau unseres Dezimalsystems. Die Ziffern 0-9 wiederholen sich systematisch in jeder Stelle, mit jeder weiteren Stelle die hinzukommt,  verzehnfacht sich der Wert und  der Stellenwert ist systematisch in Dreiergruppierungen aufgebaut: Einer-Zehner-Hunderter/Tausender -Zehntausender- Hunderttausender/ Million-Zehn Millionen – Hundert Millionen/ usw…..,

Deshalb ist es beim Zählen lernen und der Vermittlung von Mathematik unerlässlich die Ordnungsstrukturen und Regeln klar zu vermitteln,  und dass diese unbedingt konsequent einzuhalten sind.

Mathematik und auch das Zählen ist deshalb nicht unflexibel. Wichtig in der Arbeit mit Kindern ist, ihnen zu vermitteln, dass ihre Arbeitsweise die vorgegebenen Ordnungsstrukturen und Regeln nicht verändern darf. Deshalb sollte verdeutlicht werden, welche Regeln unveränderbar sind. Innerhalb dieser Strukturen/Regeln ist immer noch Möglichkeit für individuelles, kreatives Zählen oder mathematisches Handeln.

Kinder lieben klare Regeln und verlässliche Ordnungen, denn sie geben Sicherheit. Dementsprechend lieben sie auch das Zählen, weil es sehr geordnet und strukturiert ist. Für Kinder, die in sehr ungeregelten Verhältnissen aufwachsen bzw. ohne verlässliche Regeln und Strukturen, ist Mathematik, und damit auch das Zählen, häufig schwierig. Denn es fällt ihnen schwer sich an klare Vorgaben, Regeln, Strukturen und Ordnungen zu halten und darauf zu vertrauen, dass sie immer verlässlich sind.

Der Unterschied zwischen einer Ziffer und einer Zahl

Bevor man in die Zählsystematik einsteigt, gilt es erst einmal zu klären: „Was ist eine Zahl.“  Um eine Zahl schreiben zu können, muss man erst einmal lernen Ziffern zu schreiben. Das wirft für viele Menschen gleich die Frage auf: „Ist eine Ziffer nicht dasselbe wie eine Zahl?“ Die Antwort lautet: „Nein!“

In den  meisten Ländern der Erde wird ein Dezimalsystem (das Wort ist abgeleitet vom mittellateinisch „decimalis“, zu lateinisch „deccem“  und bedeutet zehn) zum Zählen und Rechnen benutzt. Das ist ein Zehnersystem oder dekadisches System,  das als Basis die Zahl 10 verwendet. In der Regel wird darunter speziell das Dezimalsystem mit dem Stellenwertsystem verstanden, das in der indischen Zahlschrift entwickelt, durch arabische Vermittlung an die europäischen Länder weitergegeben wurde und heute weltweit internationaler Standard ist.

Diese 10 indischen Ziffern heißen: 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9. Das sind die 10 Ziffernzeichen oder Symbole,  die die Kinder im 1. Schuljahr in einem Ziffernschreibkurs lernen. Man könnte sie auch als die Buchstaben der Mathematik bezeichnen, denn um Wörter zu schreiben, muss man die 26 Buchstaben des Alphabets kennen und schreiben lernen. Um Zahlen schreiben zu können,  muss man die 10 Ziffern der Inder kennen und schreiben lernen.
 

Was machen wir mit Ziffern und was machen wir mit Zahlen?

Mit Ziffern machen wir 2 Dinge: Wir schreiben Zahlen und wir ordnen unser Leben.
Zahlen schreiben, muss nicht weiter erläutert werden, aber die Ordnungssystematik von Ziffern ist vielen Menschen nicht klar.

Sie begleiten uns scheinbar unbewusst im Alltag, weil sie so selbstverständlich geworden sind, wie z.B.: das Datum, die Hausnummern,  die Postleitzahlen, die Ziffern der Uhren, die Kontonummer, die Telefonnummer, Seitenzahlen und, und, und ……., Das sind ein paar Beispiele, wie Ziffern als Orientierungshilfen im alltäglichen Leben benutzt werden und unseren Alltagsablauf sehr erleichtern.

Mit Zahlen machen wir in erster Linie eins, nämlich zählen und rechnen, Die Zahl 10 ist die 1. richtige Zahl, weil sie aus den Ziffern 1 und 0 gebildet wird. Die Ziffern 0-9 sind die einzigen die Ziffer und Zahl sein können. Sie werden dann zur Zahl, wenn sie zum Rechnen benutzt werden und sind Ziffern, wenn wir sie zum Ordnen benutzen.

Die unterschiedlichen Aspekte des Zahlenbegriffes

Zahlen können vielfältig unter ganz unterschiedlichen Gesichtspunkten verwendet werden. Man spricht an der Stelle auch von einem Zahlenbegriff, der sehr verschieden definiert sein kann, je nachdem wozu die Zahlen benutzt werden.

Man spricht von einem:

  • kardinalen Aspekt,  wenn Zahlen benutzt werden um die Menge von einer Anzahl Objekte zu  beschreiben.
    (z.B.:  4 Äpfel - 5 Autos - 3 Bäume)
  • ordinalen Aspekt,  wenn eine Zahl die Position oder den Rang eines Objektes in einer geordneten Reihe benennt.
    (z. B.: 3. Platz im Wettkampf - 2. Seite - als 5. ins Ziel gelaufen)
  • Zählaspekt, wenn die Zuweisung von Zahlen zu Objekten gemäß der Ordnung der Zahlenreihe erfolgt.

(z.B.: 1-2-3-4 Knöpfe - 2-4-6 Eier-10-20-30-40 Euro)

  • Operator Aspekt, wenn Zahlen benutzt werden um das Vielfache eines Vorgangs zu beschrieben.
    (z.B.: fünfmal hat er geworfen - dreimal hat sie verloren - zweimal ist er hingefallen)
  • Maßzahl Aspekt, wenn Zahlen als Maßzahl für Größen benutzt werden.
    (z.B.: 5 Meter – 2 Liter – 50 Kilogramm)
  • Rechenaspekt, wenn Zahlen das  Ergebnis einer mathematischen Verknüpfung beschreiben, d. h. man mit ihnen rechnet.

(z. B.: die Summe von 3 + 4 = 7- das Produkt von 6 × 3 = 18 - die Differenz von 12 – 8 = 4)

Außer diesen 6 Aspekten gibt es noch sehr spezifische, weitreichendere Zahlaspekte, die jedoch hier unerwähnt bleiben, weil das Hauptthema diese Kategorie der Zählaspekt ist.

Das Zählen

Die Fähigkeit des Zählens ist ein grundlegender Baustein in der mathematischen Entwicklung eines jeden Kindes und besonders bedeutsam während der Grundschulzeit.
Obwohl die Fähigkeit, zählen zu können, auf den ersten Blick eher unkompliziert erscheint, wird bei näherer Betrachtung von Zählprozessen schnell deutlich, dass sich hinter der Tätigkeit des Zählens komplexe Anforderungen verbergen.

Bereits früh – im Alter von 2 bis 3 Jahren beginnen Kinder ihre Umgebung auch zählend zu erkunden. Fragt man Kinder in diesem Alter, ob sie schon zählen können, dann nennen sie oft eine Abfolge von Zahlen . Sie versuchen meist die korrekte Folge der Zahlenwörter - beginnend mit 1 – 2 – 3 – 4….  zu wiederholen. Um aber Objekte von Mengen erfolgreich abzählen zu können, müssen Kinder nicht nur die korrekte Folge der Zahlwörter kennen, sie müssen darüber hinaus auch über weitere Kompetenzen verfügen. Wesentlich für die Ausprägung einer Zählkompetenz ist das Erlernen und verstehen verschiedener Zählprinzipien.

 

Zählprinzipien

 

es gilt folgende Zählprinzipien zu erkennen, abzuspeichern und beim Zählen umzusetzen.

  1. Prinzip der stabilen Rangfolge:
    Die Reihenfolge der Zahlwörter bleibt immer gleich.  
     
  2. Eins – Eins - Prinzip:
    Man spricht von einer Eins-zu-Eins-Zuordnung, wenn jedem Teil einer Menge  genau ein Zahlwort zugeordnet wird. Das bedeutet, dass kein Teil doppelt gezählt und kein Teil vergessen werden darf.
     
  3. Kardinalprinzip:
    Beim Abzählen einer Menge gibt das zuletzt genannte Zahlwort die Gesamtzahl der Menge an, d.h. das zuletzt genannte Zahlwort ist die Antwort auf die Frage: „Wie viele sind das?“.
     
  4. Prinzip der Irrelevanz der Reihenfolge:
    Sowohl die Reihenfolge, in der die einzelnen Stücke/ Teile einer  Menge gezählt werden, als auch die Anordnung der Teile/ Stücke ist für das Ergebnis des Zählprozesses irrelevant. Der Zählprozess kann bei einem beliebigen Stück/ Teil  beginnen.
     
  5. Abstraktionsprinzip:
    Die zuvor genannten Prinzipien sind auf beliebige Dinge anwendbar. Sowohl konkrete, materielle Objekte wie z.B.: Enten, Autos, Gänseblümchen sind zählbar, aber auch abstrakte und immaterielle Dinge wie Töne, Lichtsignale, Frequenzen  etc. sind zählbar. Die Objekte, die gezählt werden, müssen dabei nicht in einem inhaltlichen Zusammenhang stehen. 

Generell gilt, dass Kinder lernen zu zählen, indem sie zählen, d.h. indem sie immer wieder die Gelegenheit erhalten, ihre Zählkompetenz zu trainieren.
Kindern mit Lernschwierigkeiten, mit fehlenden oder eingeschränkten Zählerfahrungen, müssen die Gelegenheit erhalten, grundlegende Zählerfahrungen zu machen.

Montessori Materialien zum Zählen

Maria Montessori hat die elementare Wichtigkeit des Zählens, um  Mathematik erlernen zu können,  erkannt und dementsprechend viele Materialien entwickelt, die anregen zum Zählen und die gleichzeitig auch eine Mengenvorstellung initiieren.

Schon die Materialien für den Elementarbereich,  wie „der rosa Turm“, „die braune Treppe“,  „die roten Stangen“,  „die numerischen Stangen“, „die Ziffern und Chips“,  bestehen in Anlehnung an das dekadische Dezimalsystem, alle aus 10 Teilen.

Zum weiterführenden Zählen gibt es unterschiedliche Ketten, die 10-er, 20-er, 100-er und 1000-er Kette. Es gibt ebenso Rechenrahmen mit der Menge 10-20-100, die auch zum Zählen eingesetzt werden können. Das 100-er Brett ist ein beliebtes Material um den Zahlenraum bis 100 zu erarbeiten. Alle diese Materialien bieten nicht nur die Möglichkeit zum linearen Zählen, d. h. ab „1“ beginnend in der Folge, sondern auch zum systematischen Zählen, wie z.B. in Schritten,  rückwärts, oder ab einer beliebigen Zahl beginnend. Darüber hinaus eignen sich die Materialien um die Zählstrukturen innerhalb der Zahlenfolgen zu erkunden, wie zum Beispiel den Zehnerübergang, Nachbarstellen, Vorgänger-Nachfolger, die Regelmäßigkeit der Stellenwerte etc.

Mit dem goldenen Perlenmaterial und den dazugehörigen Stellenwerttafeln, hat Maria Montessori Materialien konzipiert, die die Zählsystematik innerhalb des Dezimalsystems für die Kinder sichtbar und handelbar machen. Eine sich wiederholende Farbgebung der Ziffern entsprechender der Dreiergruppierung der Stellenwerte (der Einer ist grün, der Zehner ist blau, der Hunderter ist rot, der Tausender wieder grün usw…) , ist ebenso eine gute Orientierungshilfe zum Erlernen der Zählsystematik, wie die sich wiederholende Form der Dreiergruppierung der Stellenwerte beim goldenen Perlenmaterial ( Einer = Würfel-Zehner = Stangen-Hunderter = Platte, Tausender = Würfel usw…).