Division

Wie Mathematik unser Leben bestimmt

Von Geburt an ist es das Ziel eines jeden Kindes sich zu einer individuellen Persönlichkeit zu entwickeln, die in der Lage ist eigenverantwortlich und selbstbestimmt zu handeln und zu leben. Um dieses Ziel zu erreichen, bedarf es außer dem Erlernen von körperlichen Fertigkeiten, wie zum Beispiel dem Laufen, auch kognitive Fähigkeiten zu erwerben. Neben dem Schreiben und Lesen, ist das Rechnen eine wichtige Qualität, die der Mensch braucht, um sein Leben selbstbestimmt in die Hand nehmen zu können, damit er seinen Alltag als Erwachsener eigenverantwortlich bewältigen kann.

Die Division ist in der Regel die letzte der 4 Grundrechenarten, mit der Kinder konfrontiert werden. Inwieweit die Kinder in der Lage sind diese zu erfassen und zu be-greifen, hängt zum einen davon ab, ob der mathematische Einstieg gelungen ist und sie die ersten drei Grundrechenarten (Addition/Subtraktion/Multiplikation) erfassen konnten und selbständig umsetzen können. Ausschlaggebend ist auch, welche genetischen Grundlagen sie mitbringen und  welche mathematischen Erfahrungen sie in den ersten Lebensjahren sammeln konnten. In unserem zunehmend industrialisierten und digitalisierten Alltag ist es jedoch immer schwieriger für die Kinder ein sogenanntes „mathematisches Fundament“ aufzubauen.
Die Gründe dafür sind vielfältig.
Die zunehmende Bewegungsarmut der Gesellschaft aufgrund der digitalen Möglichkeiten viele alltägliche Aufgaben wie einkaufen, Bankgeschäfte, Behördengänge und ähnliches,  online schnell und unproblematisch zu erledigen, ohne sich dafür zu bewegen, ist eine Ursache.
Ein weiterer Grund ist die wachsende Industrialisierung, die dazu führt, dass die Lebensräume immer weniger Platz bieten um sich frei zu bewegen. Die Folge davon ist, dass für die Kinder die Möglichkeiten sehr begrenzt sind zur freien motorischen Entfaltung und damit zum Entdecken ihrer Umwelt. Das wiederum führt dazu, dass Kinder häufig nur unzureichende oder keine bildlichen /konkreten mathematischen Vorstellungen haben. Dass Lernprozesse immer mehr über digitale Medien stattfinden, selbst schon für sehr junge Kinder, begünstigt leider diese Entwicklung.
Ein großer Nachteil der digitalen Möglichkeiten zum Lernen ist die Tatsache, dass am Bildschirm alles nur zweidimensional erfasst werden kann, statt dreidimensional mit räumlicher Tiefe. Mittlerweile gibt es mehrere Untersuchungen, die bestätigt haben, dass dieses Lernen in zu jungen Jahren dazu führt, dass die Synapsen im Gehirn sich nicht so vielfältig verzweigen wie wünschenswert. Dadurch  wird die Ausprägung einer sehr wichtigen mathematischen Fähigkeit, die Entwicklung der Raum-Lage Beziehung, das räumliche Sehen, empfindlich gestört. Die dazu notwendigen Verknüpfungen im Gehirn bilden sich häufig dann nur unzureichend aus.

Alle vorgenannten Gründe tragen dazu bei, dass es vielen Kindern deshalb schwer fällt Mathematik im Allgemeinen zu erfassen, bzw. was zum Beispiel „teilen“ oder Division bedeutet.

 

Division: Die „Königsdisziplin der Mathematik“

In der Division, als Umkehrung der Multiplikation bzw. als besondere Form von Subtraktion, vereinen sich 3 der 4 Grundrechenarten. Um schriftlich dividieren zu können, muss ich das 1 x 1 und die schriftliche Multiplikation beherrschen, die schriftliche Subtraktion und natürlich das Dividieren. Aufgrund dieses rechnerisch hohen Anspruchs, fällt es vielen Schülern schwer das Dividieren mit einem einstelligen Divisor zu erfassen,  Die Division mit mehrstelligem Divisor (2 bis 3-stellige Zahlen) stellt dabei noch mal einen höheren, abstrakten Anspruch an die Schüler.

 

Ohne 1 x 1 und 1 : 1 keine Division

Der Einstieg in die Division erfolgt normalerweise über das kleine 1 x 1 und zwar quasi in der „Rückwärtsversion“. Man könnte es auch das „kleine 1 : 1“  nennen.
Das 1 x 1 wird in der Regel im 2. Schuljahr eingeführt und begleitet den Schüler den Rest seiner mathematischen Schullaufbahn und darüber hinaus den erwachsenen Menschen immer wieder in seinem Alltag. Umso wichtiger ist es, dass die Einführung des 1 x 1 gelingt, und es in den Köpfen der Schüler sicher, abrufbar verankert ist. Das wäre dann die Grundlage um auch die Umkehraufgaben der Multiplikationsreihen zu verstehen, zu erfassen, und zu erlernen.
Warum aber fällt es so vielen Schülern schwer das 1 x 1/ 1 : 1 zu verstehen, auswendig zu lernen und zu behalten?
Bei der Einführung des 1 x 1 kommen häufig nur zweidimensionale Arbeitsmaterialien in den Einsatz, die von den Kindern viel konkrete Vorstellungskraft erfordern. Da viele dazu jedoch nicht in der Lage sind, ist eine haptische Erfahrung mit dieser Rechenoperation sehr wertvoll und zu empfehlen. Montessori-Materialien, wie das kleine Multiplikationsbrett, die bunten Perlenstäbe oder auch die bunten Rechenstäbe, bieten den Kindern Möglichkeiten das kleine 1 x 1 „anzufassen“- „anzusehen“- „zu tun“. Ganz deutlich wird mit dem Material auch die Zuordnung von Multiplikand und Multiplikator.
Wenn das Verständnis für die Rechenoperation gegeben ist, folgt das leidige Thema, das 1 x 1 auswendig zu lernen. Zu den oben bereits genannten Materialien, gibt es noch mehrere, unterschiedliche Materialien (z. B. Pythagoras Brett, 1 x 1 Ketten u.Ä.), um dem stupiden Auswendiglernen der Multiplikationsreihen etwas entgegenzusetzen. Mit praktischen Umsatzmöglichkeiten macht das Auswendiglernen erstens mehr Spaß und zweitens, wenn man etwas mit allen Sinnen lernen kann, bleibt es auch nachweislich dauerhafter in dem Köpfen der Schüler. 

Wichtig dabei ist, dass man nach der Einführungsphase aller Multiplikationsreihen sofort von dem Auswendiglernen der Ergebnisse der einzelnen Reihen Abstand nimmt. Am Anfang tun sich die Kinder zwar noch schwer, direkt alle Malreihen gemischt zu erlernen, aber der Lern- und Abspeichereffekt sind nachweislich ein weitaus größerer. 

Für das 1 : 1  zu erfassen, bzw. das grundsätzliche Verständnis für die Division , gibt es zur Einführung das kleine Divisionsbrett. Dieses Material zeigt eindrucksvoll den Zusammenhang zwischen der Multiplikation und der Division und macht die Umkehrung der beiden Rechenarten optisch eindrucksvoll deutlich. Ein Diskussionspunkt ist immer, ob es besser ist, zuerst das 1 x 1 einzuführen und die Kinder das sicher auswendig lernen zu lassen, ehe man sie mit den Umkehraufgaben (1 : 1) konfrontiert. Was besser ist, kann sicher nicht definitiv beantwortet werden, sondern die Entscheidung sollte sich an den Fähigkeiten und Möglichkeiten der Kinder, mit denen man es erarbeitet,  orientieren.

Zur Übung, um das kleine 1 : 1 auswendig zu lernen, können auch alle genannten Materialien für das 1 x 1 zum Einsatz kommen, denn das Material ist auch in der Umkehrung problemlos einsetzbar und verdeutlicht an der Stelle noch einmal mehr ,was die Umkehrung des 1 x 1 bedeutet.

 

Der Weg vom konkreten Tun zum abstrakten Rechnen
Auf der Grundlage, dass das 1 x 1 und 1 : 1 sicher und abrufbar dem Schüler zur Verfügung stehen, kann das schriftliche Dividieren eingeführt werden. Mit den Montessorimaterialien ist es möglich diesen Handlungsvorgang darstellbar, umsetzbar und sichtbar zu machen. Die Handlungsschritte können 1 zu 1 auf die schriftliche Darstellung übertragen werden.

Da es unterschiedliche Materialien zur Visualisierung und Umsetzung der Division gibt, findet jedes Kind in der Regel ein Material, welches es anspricht und seinen motorischen, als auch kognitiven Fähigkeiten entspricht. Mit allen Materialien ist es dann möglich Division zu „tun“. Somit bieten die Materialien den Kindern vielfältige Möglichkeiten einen sichtbaren Zugang zu dieser Grundrechenart zu finden.

 

Das goldene Perlenmaterial

Das absolut konkrete Material zur Umsetzung der Division ist das goldene Perlenmaterial, im Original entwickelt von Maria Montessori. Mit dem goldenen Perlenmaterial können die Kinder die Ausdehnung der Zahlen innerhalb der Stellenwerte sowohl optisch, als auch haptisch erfahren. Ebenso den schwer zu erfassenden Zehnerübergang. Dieser kann konkret sichtbar gemacht und dargestellt werden, sodass er für die Kinder nachvollziehbar wird.

Wichtig ist, dass man den Kindern zuerst die Division nur auf der Handlungsebene vermittelt und sie diese dann solange wiederholen/üben lässt, bis man sicher ist, dass sie die „Bilder“ der Division abrufbar im Kopf haben. Wenn das der Fall ist, ist der nächste Schritt eine Verknüpfung der Handlung mit der schriftlichen Umsetzung. Diese gelingt am besten indem man jeden Handgriff parallel zur Materialarbeit schriftlich notiert. Die Kinder arbeiten dann vielfach eine Weile völlig parallel Schritt für Schritt mit dem Material und notieren, was sie gerade getan haben. Bei dieser Arbeit darf sie niemand drängen, sondern es ist Aufgabe der Pädagogen den Kindern die Zeit zu lassen, die sie für diese parallele Tätigkeit brauchen. Die Kinder kommen ganz von alleine mit dem Wunsch es nur noch schriftlich, ohne das Material umsetzen zu wollen. Das Zeitfenster dafür wiederum ist sehr abhängig von den Fähigkeiten, die jedes Kind mitbringt. Aus diesem Grunde ist es ganz wichtig, jedem Kind die Zeit zu lassen die es braucht, um den Vorgang der Division für sich im Kopf „klar“ zu haben.

Kinder, die dann die Erfahrung machen, dass sie es immer noch  nicht ohne Material schaffen, sollte man dann schrittweise mit den nachfolgenden Materialien vertraut machen, die einen immer abstrakteren Anspruch haben und sie so über die Materialarbeit beim Erfassen der abstrakten, schriftlichen Umsetzung der Division unterstützen können.

 

Überleitung zur Abstraktion mit Markenspiel und großem Multiplikationsbrett

Ein Material mit der nächsten Abstraktionsstufe wäre z. B. das Markenspiel. Es vermittelt nicht mehr die konkrete Ausdehnung der Stellen E - Z - H - T, sondern die Stellenwerte sind nun nur noch  in den Stellenwertfarben (grün /E-blau/Z-rot/H- grün /T) dargestellt und auf gleichgroße Holztäfelchen aufgedruckt. Dieses Material ist somit einerseits geeignet für Kinder, die eine schrittweise Heranführung an die abstrakte Umsetzung der Division brauchen.  Andererseits auch als Einstiegsmaterial für Kinder, die schon durchaus ein Verständnis für unsere Wertigkeiten der Stellen haben und nur noch etwas Materialunterstützung zur Festigung ihres Verständnisses für die Division benötigen. Das Material hat allerdings seine Grenzen und ist nur für Ergebnisse kleiner 10.000 geeignet.

Das große Multiplikationsbrett kann auch in abgewandelter Form zur Umsetzung der schriftlichen Division genutzt werden und ist problemlos im Zahlenraum bis 10.000.000 einsetzbar. Es ist durchaus geeignet den Divisionsvorgang sowohl mit ein- als auch mehrstelligen (4) Divisor darzustellen, zu visualisieren und zu üben.

 

2 Lösungswege zu Division
Es gibt einen gravierenden Unterschied beim Lösen von Divisionsaufgaben mit einstelligem Teiler im Vergleich zu Aufgaben mit mehrstelligem Teiler.
Mit eigenständigem Divisor reicht es in der Regel, wenn ich über gesicherte Kenntnisse das 1 x 1/1 : 1 verfüge und diese sicher umsetzen kann. Der Lösungsweg ist dann, die zu teilende Menge gleichmäßig an alle Teiler (1-9) „zu verteilen“. Bei der Division mit einem mehrstelligen Divisor, muss ich über ein gesichertes Wissen die Stellenwerte betreffend verfügen und kann dann, ohne aufwändige Multiplikation von mehrstelligen Zahlen, die Mengen auf die einzelnen Stellen des Divisors „aufteilen“.

Alle 3 genannten Materialien, (goldenes Perlenmaterial, Markenspiel, großes Multiplikationsbrett), sind sehr gut geeignet zur Umsetzung, Visualisierung, Übung und Verdeutlichung der beiden unterschiedlichen Lösungswege der Division.

 

Zeit zum Üben und Verstehen der Division

Passend zu den Rechenmaterialien, gibt es verschiedene Arbeitsblätter, Lern- und Arbeitskarteien mit denen man vielfältig und unterschiedlich das 1 x 1/1 : 1 und die schriftliche Division üben und vertiefen kann. Da diese Materialien alle in der Regel auf der Rückseite mit den Lösungen versehen sind, können die Kinder völlig selbstständig mit den Materialien das 1 x 1 und die Division üben. Sie sind deshalb auch nicht auf eine Rückmeldung der Lehrkraft angewiesen und somit in der Lage, ganz autonom zu lernen.