Potenzen

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Das Zauberwort heißt Stellenwerte

Wie viele mathematische Fachbegriffe, leitet sich auch das Wort „Potenzen“ aus dem lateinischen ab, und  zwar von dem Wort „potentia“, welches Vermögen oder Macht bedeutet.

Der Begriff ist sehr gut gewählt, denn Potenzen machen die Mächtigkeit der Zahlen deutlich bzw. bieten die Möglichkeit ihre Mächtigkeit in einer verkürzten, aber trotzdem eindrucksvollen Form schriftlich zu notieren.

Da wir in dezimalen Strukturen in einem Stellenwertsystem rechnen, dass bedeutet, das die Basis von all unserem Rechnen die Zahl 10 ist, können wir seit der Entwicklung der Ziffer „ 0 “ und der Stellenwerte unendlich mächtige Zahlen bilden und mit ihnen rechnen . Genau dieser Fakt hat der Mathematik unendlich große Möglichkeiten beschert Dinge zu berechnen, egal wie groß die Zahlen sind. Die Begeisterung der Mathematiker darüber wurde allerdings gedämpft, weil es oft sehr mühselig war mit diesen großen Zahlen zu rechnen. Also haben sie, wie so oft in der Geschichte der Mathematik, die Mathematik an die Bedingungen und mathematischen Ansprüche der Zeit angepasst und die Potenzen entwickelt. Die Verbreitung der Darstellung großer Zahlen in der Potenzschreibweise, schreibt man dem deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz zu.

Was genau passiert beim Potenzieren

Um es mal ganz salopp zu sagen, die Mathematiker vereinfachen sich das Rechnen, genauer gesagt die Addition und Multiplikation, denn  Mathematiker sind grundsätzlich erst einmal einfach nur  „faul“, man könnte aber auch „effizient“ sagen. Sie schreiben und tun nichts was unnötig ist. Sie finden das es wesentlich einfacher ist,  z.B. statt 2 × 2 × 2 × 2 × 2 …. 2 5, oder statt 1.000.000….  10 6 zu schreiben.

Potenzieren bedeutet also, das eine Zahl mit sich selber malgenommen wird. Eine Einheit, z.B. der Zehner  „10“ , nimmt sich Raum, multipliziert sich 9-mal mit sich selber, dehnt und  breitet sich somit aus, wird dadurch zu einer großen Zahl  in dem Falle,  10 9 =  10 Milliarden . Die „ 10“ in dem Beispiel bezeichnet man als die „Basis“ und nennt sie auch „Grundzahl“ . Die „Hochzahl“ nennt auch man „Exponent“. Das bedeutet Ausdehnung. Somit könnte man die Hochzahl auch als Ausdehnungszahl bezeichnen.

Welche Zahlen lassen sich potenzieren

Natürliche Zahlen einer Addition oder Multiplikation mit gleichen Faktoren, können in der Potenzschreibweise dargestellt werden,  wie in dem obigen Beispiel mit der Zahl „2“. Das ermöglicht es die Rechenoperationen kürzer zu schreiben, was wiederum das Rechnen erleichtert, weil die Aufgaben übersichtlicher werden. Ein lästiges Nachzählen bei vielen Faktoren bleibt somit erspart und damit ganz sicher,  die ein oder andere Fehlberechnung.

Alle Zahlen mit der Grundzahl 10  lassen sich potenzieren. Potenzen mit der Basis 10 werden daher auch Zehnerpotenzen genannt. Die Hochzahl gibt dabei die Anzahl der Nullstellen im Ergebnis an, wie im Beispiel von der 1.000.000,  die 6 Nullen hat und deshalb als Zehnerpotenz  entsprechend der Anzahl der Nullen wie folgt notiert wird : „10 6  “. Einfache Zehnerpotenzen kann man deshalb  auch ganz leicht ohne Taschenrechner lösen. Man schreibt eine  „1“ und danach so viele Nullen wie die Hochzahl vorgibt.  Wenn  also auf eine „1“ hundert  Nullen folgen, könnte man also auch statt  1 und  100 Nullen, besser  10100 schreiben um ein Googol (so nennt man eine Zahl mit 100 Nullen) darzustellen.

Man nutzt diese Möglichkeit aber nicht nur um dekadische Einheiten als Zehnerpotenz zu schreiben, sondern auch um große Zahlen mit vielen Stellen kürzer und damit einfacher zu notieren.

Jede Zahl, die größer als 10 ist, lässt sich als Produkt einer Vorzahl und Zehnerpotenz darstellen. Die Vorzahl erhält man, indem man nach der ersten Ziffer ein Komma setzt. Die Hochzahl der Zehnerpotenz ergibt sich aus der Anzahl der Kommastellen. Ein Beispiel: 67200000000……. schreibt man in der Potenzschreibweise als 6,7200000000 × 10 10  Im Endergebnis dürfen bei der Vorzahl die letzten Nullen der Kommastellen weggelassen werden, da sie in der Potenzschreibweise keinen Wert haben, aber ihr Stellenwert durch den Exponent dargestellt ist. Man schreibt: „6,72  × 10 10 “. Das Rechnen mit großen Zahlen wird durch das Potenzieren somit wesentlich vereinfacht und statt eine Ziffern- oder Stellenwerteanzahl zu zählen, ist es natürlich viel einfacher, wenn durch die Hochzahl klar zu sehen ist wie viele Stellen noch hinzukommen.

Also, mit wachsenden Stellenwerten, vergrößern sich die Werte der Zehnerpotenzen. Und wie immer in der Mathematik gibt es zu jeder Rechnung auch das Gegenteil. Das Gegenteil einer Multiplikation, ist die Division, und das Gegenteil einer (positiven) Potenz ist eine negative Potenz.  Um von einer Zehnerpotenz zur nächst kleineren zu gelangen, wird nicht mit 10 multipliziert, sondern durch 10 dividiert. Diese Potenzen werden mit einem Minuszeichen (-) vor dem Exponenten gekennzeichnet und somit sind dann auch Brüche und Dezimalbrüche darstellbar in der Potenzschreibweise.
Beispiel: ein Tausendstel, wird in der Dezimalbruchschreibweise als 0,001  geschrieben und als Bruch 1/1000. In der Potenzschreibweise als 10 – 4 notiert.

Bemerkung: Hier zeigt sich wieder die Effizienz (Faulheit) der Mathematiker. Eine positive Potenz wird nicht mit einem (+) gekennzeichnet, sondern man spart sich das  (+) zu schreiben und legt als Regel fest: Jeder Exponent ohne Vorzeichen ist eine positive Potenz!

Die Montessorimaterialien zur Potenzrechnung

Bezugnehmend auf die Eingangsüberschrift: „Das Zauberwort heißt Stellenwerte“ , kann hier noch mal verdeutlicht werden wie systematisch die Montessorimaterialien aufeinander aufbauen,  um ein mathematisches Verständnis entwickeln zu können. Voraussetzung um Potenzen zu verstehen, ist das Verständnis für unsere dezimalen Strukturen. Diese werden zum Beispiel durch das goldene Perlenmaterial begreifbar und sichtbar.

Die Entwicklung der Materialien zum Thema „Potenzen“ sollen, ebenso wie das goldene Perlenmaterial, die Möglichkeit, bieten Wissen mit den Händen „ zu begreifen“. Materialien, wie die Würfel für Potenzen mit 2 und 3 , finden schon ihren Einsatz im Kinderhaus.  Da natürlich nur unter der Prämisse mathematische Erfahrungen zu sammeln und eine visuelle Vorstellung davon bekommen,  wie mächtig eine Zahl sich mit jeder weiteren Potenzierung vergrößert. Die Würfel für die Potenzen mit der 3 zeigen dann im Vergleich zu den Würfeln für die Potenzen mit 2,  wie mächtig sich die Dimensionen schon unterscheiden, wenn die  Basis auch nur „1“ mehr hat. Im Unterricht eingesetzt lässt sich außer der Visualisierung  mit dem Material,  das Rechnen mit Potenzen verknüpfen und erleichtert somit den Einstieg in dieses abstrakte Rechenverfahren.