Bruchrechnen

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Die Angst der Menschheit vor den Brüchen

Mathematik lebt seit ihrem Beginn in der Urzeit vor vielen Millionen Jahren, vom Ideenreichtum vieler unzähliger Menschen aus den verschiedensten Kulturen und Generationen. Eine der besonderen mathematischen Ideen,  war die Erfindung der Brüche. Damit war es endlich möglich auch Werte in Ziffernschreibform darzustellen, die nicht ein „Ganzes“ waren. Allerdings taten sich die Menschen sehr schwer damit die Brüche anzunehmen.

Ihren Ursprung hatte die Idee,  2 Zahlen mit einem waagerechten oder schrägen Strich zu schreiben,  bereits sehr früh. Zum Beispiel die Ägypter schrieben bereits Brüche, rechneten allerdings nicht damit, sondern nutzten sie um Verhältnisse zwischen 2 Zahlen darzustellen.

Auch die Sumerer kannten so etwas wie Brüche. Allerdings war das Rechnen mit Brüchen in ihrem Zahlensystem (Sexagesimalsystem), welches als Grundzahl die Zahl „60“ hatte, recht kompliziert und wurde daher eher vermieden .

Die Inder schrieben Brüche sehr ähnlich auf wie wir heute, mit einem Strich zwischen der oberen Zahl (dem Zähler) und der unteren Zahl (dem Nenner). Sie rechneten in ihrem dekadischen  System mit Stellenwerten durchaus effizient mit Brüchen. Viele andere  Völker hielten aber tausende von Jahren an der „60“ der Sumerer fest, und vermieden die Brüche so weit als möglich.  Vielleicht haben die Sumerer die „60“ als Grundzahl für ihr Zahlensystem gewählt, weil die „60“ sich durch 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60 ohne Rest teilen lässt. Dadurch wird die Wahrscheinlichkeit, dass Rechnungen aufgehen,  sehr viel höher als bei der Verwendung eines Zehnersystems. Die 10 kann man nur durch 1, 2, 5 und 10 ohne Rest teilen.

Warum zögerten die Menschen dann das Dezimalsystem der Inder zu verwenden. Der Grund ist ein ganz einfacher.  Der Mensch war und ist ein „Gewohnheitstier“,  das gerne bei seinen alten,  lieb gewonnenen Gewohnheiten bleibt und viele lehnen Veränderungen ab. Das war früher schon so und ist heute noch so!  Die Menschen waren an das Rechensystem der Sumerer gewöhnt, es hatte sich für sie bewährt und somit befanden sie es für gut. Außerdem zögerten die Menschen das Zehnersystem zu verwenden, weil sie Angst hatten das Betrüger damit ein leichteres Spiel hätten, weil diese das Rechensystem vielleicht schon beherrschten, während sie es erst noch mal erlernen müssten.

Es hat deshalb eine Weile gedauert bis das Zehnersystem überall akzeptiert wurde. Als die Menschen aber feststellten, dass das Zehnersystem auch mit Brüchen zurechtkam, gab das den Ausschlag das Sexagesimalsystem der Sumerer ad acta zu legen , das neue Dezimalsystem der Inder zu akzeptieren,  und sich auch mit der Bruchrechnung auseinanderzusetzen.

Aus dem Grund ist die Bruchrechnung in der heutigen Form, wie wir sie aus dem Schulunterricht kennen,  noch ein verhältnismäßig junges Rechengebiet der Mathematik .

Welchen Zahlenraum umfassen Brüche

Die Brüche wurden bald zu einem weiteren, wichtigen Zahlentyp neben den natürlichen Zahlen. Da Brüche ein Verhältnis von 2 ganzen Zahlen zueinander darstellten,  nannten die Mathematiker sie „rationale Zahlen“,  nach dem lateinischen Wort „ratio“ für Verhältnis. Da es gelungen ist die Brüche, sowohl in der Bruchschreibweise, als auch in der Dezimalbruchschreibweise ins Zehnersystem mit den dezimalen Strukturen zu integrieren, gibt es die rationalen Zahlen in genauso unendlicher Form wie die natürlichen Zahlen. Ganz genau gesagt gibt es sie sogar zwischen „1 und 0“ in unbegrenzter Menge. Ebenso gibt es unendliche Mengen rationaler Zahlen zwischen 2 beliebigen natürlichen Zahlen (z. B. zwischen 2 und 3). Dann allerdings sprechen wir von unechten Brüchen. Die echten Brüche haben kein Ganzes und umfassen nur den Zahlenraum zwischen „1 und 0“. Der Zähler wird nie kleiner als 1 und der Nenner bleibt immer größer als 0. Genauso wie es im Zahlenraum der natürlichen Zahlen möglich ist,  immer noch 1 mehr zu zählen, man braucht nur einen neuen Namen für den Stellenwert, ist es möglich im Bereich der Brüche den Bruch, auch wenn er mit dem bloßen Auge gar nicht mehr zu sehen wäre,  rein theoretisch immer wieder in mehrere gleich große Stücke zu zerteilen, Minimum 2.

Was geblieben ist, ist die Angst vor den Brüchen

Nach wie vor ist die Bruchrechnung für viele Kinder, Schüler und Erwachsene ein schwierig zu erfassender Zahlentyp und Rechenart.

An dieser Stelle ein Zitat zur Erklärung dieses Phänomens von dem deutschen Mathematiker Günther Malle (* 5/1960) aus dem Artikel „Grundvorstellungen zu Bruchzahlen“ aus der  Zeitschrift „Mathematik lehren“, Heft 123,2 1004, Seite 4


Der wahrscheinlich größte Fehler des traditionellen Mathematikunterrichts besteht darin, dass zu schnell auf eine formal-regelhafte Ebene aufgestiegen wird, bevor noch ausreichende,  intuitive und anschauliche Vorstellungen vom jeweiligen Stoff erworben wurden. Diesen Fehler kann man an fast allen Stoffgebieten der Schulmathematik beobachten. Die Bruchrechnung ist aber ein besonders geeignetes Studienobjekt.“

Um das Bruchrechnen zu erlernen, braucht man Zeit. Natürlich kann man in wenigen Stunden schematisch die Rechengesetze der Bruchrechnung einführen, aber das hat nichts mit Mathematik zu tun. Um Brüche erfassen zu können, sollte  zuerst ein Verständnis für diesen Zahlentyp aufgebaut werden. Viele Kinder, Schüler und Menschen finden es  z. B. höchst irritierend, dass die Zahlen, je größer sie im Nenner werden,  umso kleiner im „Wert“ werden (z.B.: das Stück Kuchen oder Pizza wird immer kleiner). Genauso befremdlich empfinden sie es, dass eine Bruchzahl  auch immer kleiner wird, wenn man sie mit einem anderen Bruch multipliziert.  Beispiel:        Im Bereich der geläufigen,  natürlichen Zahlen, ist das genau umgekehrt. Durch die Multiplikation können Zahlen unendlich groß werden. Genauso irritiert,  dass zwei  Brüche,  die miteinander dividiert werden, im Ergebnis größer sind als das,  was dividiert wurde. Beispiel:     = 1  . Auch das ist bei der Rechnung mit natürlichen Zahlen ganz anders. Die Division lässt alle Zahlenwerte schrumpfen.  

Da sich die Zahlenverhältnisse in der Bruchrechnung  komplett ins Gegenteil verkehren,  irritiert sie vielfach diejenigen, die sie verstehen wollen. In den Köpfen derer,  die Bruchrechnung verstehen sollen, muss erst einmal eine komplexe Vorstellung initijert werden,  wie Brüche aussehen - wie viel sie „wert sind“, bevor sie damit konfrontiert werden mit ihnen zu rechnen. Erst wenn eine Vorstellung von der Größenordnung der Brüche gegeben ist, kann dazu übergegangen werden die 4 Grundrechenarten auf diesen Zahlentyp anwenden.

Konkretes Material zum Verständnis für die Bruchrechnung

Die Problematik, um die Umkehrung der Verhältnismäßigkeit der Zahlen in der Bruchrechnung, hat Maria Montessori sehr schnell als höchst abstrakten Anspruch an die Kinder erkannt und ein entsprechende Materialien konzipiert,  damit die Kinder eine Vorstellung vom Verhältnis der Zahlen bekommen. Dazu gibt es zuerst einmal ein Material nur zur Einführung um die Verhältnisse und den schrumpfenden Wert der Brüche zu visualisieren. Für den Einsatz im Elementarbereich gibt es zum Beispiel ein Sortierbrett mit farbigen Bruchteilen. Für den Einsatz in Schule, schon einsetzbar in Grundschule,  zum Beispiel bei der Einführung der Bruchzahlen vom Volumen/Liter,  gibt es die Bruchrechenteilen von einem „Ganzen“   bis zu   auf zwei Holzständern . Darüber hinaus gibt es noch eine Fülle von Material um Brüche kennen zu lernen,  und um das Zuordnen und benennen damit zu üben.

Ebenso breit gefächert ist das Angebot an Materialien um mit Brüchen zu rechnen. Allem voran ein ebenso konkretes Material wie die Bruchrechenteilen aus Metall auf dem Holzständern, sind die Materialkästen mit Bruchrechenteilen , die Bruchteile von einem „Ganzen“   bis zu  enthalten. Somit bieten solche Materialien die Möglichkeit, eine große Bandbreite an  Aufgaben darstellbar zu machen und mit denen  Kinder üben können. Die ganz besondere Schwierigkeit,  die Division von Brüchen zu verstehen,  kann mit speziellen Bruchrechenkegeln erarbeitet werden.

An der Stelle der Hinweis, dass die Bruchrechenmaterialien demonstrieren, wie die Montessorimaterialien entsprechend der Lerninhalte aufeinander aufbauen und verknüpft werden können. Um die 4 Grundrechenarten mit Brüchen einzuführen und umzusetzen, ist die Handhabung des Materials und z. B.  die Umsetzung  des Zehnerübergang gleich,  wie bei der Arbeit zu den 4 Grundrechenarten mit Zahlen im natürlichen Zahlenraum, wie z.B. mit dem goldenen Perlenmaterial, des Markenspiel oder dem Rechenrahmen.